I numeri hanno un vantaggio enorme nel discorso pubblico: sembrano possedere una precisione che le parole non hanno. «Molti», «pochi», «quasi tutti» dipendono immediatamente da chi parla; cento, 12 per cento, uno su mille appaiono invece esatti. E spesso lo sono. Il problema non nasce dall’imprecisione del numero, ma dalla facilità con cui scambiamo la sua esattezza per completezza.
Dire che cento persone hanno subito un determinato evento fornisce un’informazione precisa e, nello stesso tempo, quasi inutilizzabile finché non conosciamo il numero delle persone che avrebbero potuto subirlo. Cento casi in una popolazione di mille indicano una situazione molto diversa da cento casi in una popolazione di dieci milioni. Il numeratore può rimanere identico mentre il fenomeno cambia dimensione di quattro ordini di grandezza. Eppure il numero che tende a imporsi per primo alla nostra attenzione è spesso proprio quello che descrive gli eventi osservati, non l’insieme dal quale provengono.
La difficoltà nel considerare adeguatamente il denominatore è studiata anche nella psicologia del giudizio. Con denominator neglect si indica la tendenza a prestare maggiore attenzione al numero dei casi rilevanti che al numero complessivo delle opportunità nelle quali quei casi avrebbero potuto verificarsi. Le ricerche sulla comunicazione del rischio mostrano che questo può alterare la valutazione delle probabilità anche in decisioni importanti, comprese quelle sanitarie. Non significa che ogni errore statistico dipenda da questa tendenza, né che le persone ignorino sempre il denominatore; significa che il modo in cui una proporzione viene presentata può rendere più facile concentrarsi su una parte del rapporto e perdere di vista l’altra.
Un esempio molto semplice chiarisce il problema. Immaginiamo due urne. Nella prima ci sono dieci palline, una delle quali è rossa; nella seconda ce ne sono cento, otto delle quali sono rosse. Se dobbiamo estrarre una pallina rossa, la prima urna offre una probabilità del 10 per cento e la seconda dell’8 per cento. Eppure vedere «otto palline vincenti» può produrre un’attrazione intuitiva maggiore rispetto a «una pallina vincente», nonostante la probabilità sia inferiore. Esperimenti di questo tipo sono stati utilizzati per studiare il cosiddetto ratio bias, un fenomeno collegato alla difficoltà di trattare correttamente numeratore e denominatore, anche se la letteratura discute ancora quali meccanismi cognitivi lo producano e in quali condizioni si manifesti.
Nel discorso pubblico il denominatore può sparire in modi molto meno evidenti. «Diecimila incidenti» sembra un numero enorme, ma per comprenderlo dobbiamo sapere quanti spostamenti sono avvenuti, quante persone sono state esposte al rischio, in quale periodo e rispetto a quale territorio. «Cinquemila denunce» non ci dice automaticamente se un fenomeno sia aumentato, diminuito o rimasto stabile: possono essere cambiate la popolazione, la propensione a denunciare, le procedure di registrazione, la definizione utilizzata oppure il periodo preso in esame. Il numero è reale; ciò che ancora non conosciamo è il rapporto che gli permette di assumere un significato.
Lo stesso accade quando un dato viene espresso attraverso una percentuale. Le percentuali sembrano risolvere il problema perché incorporano già un rapporto, ma anche qui il denominatore può restare nascosto. Un aumento del 100 per cento può significare il passaggio da una persona a due oppure da un milione di persone a due milioni. La variazione relativa è identica, l’impatto assoluto no. Dire «il rischio è raddoppiato» è quindi matematicamente corretto in entrambi i casi, ma lascia senza risposta una domanda decisiva: raddoppiato rispetto a quanto?
La distinzione fra rischio relativo e rischio assoluto rende il problema particolarmente chiaro. Immaginiamo che un determinato evento passi da due casi ogni mille persone a tre casi ogni mille. Possiamo dire che il rischio è aumentato del 50 per cento: l’incremento da due a tre corrisponde infatti alla metà del valore iniziale. Possiamo anche dire che l’aumento assoluto è di un caso ogni mille persone, cioè 0,1 punti percentuali. Le due formulazioni descrivono esattamente gli stessi dati e nessuna delle due è falsa; producono però impressioni molto diverse se vengono presentate da sole.
La comunicazione medica ha studiato a lungo questo problema proprio perché la scelta del formato può influire sulla comprensione di benefici e rischi. Sul BMJ Michael J. Campbell ha richiamato esplicitamente il principio secondo cui un rischio relativo non dovrebbe essere comunicato senza fornire anche il rischio assoluto, perché il solo dato relativo può risultare insufficiente o fuorviante per chi deve valutare la dimensione reale di un effetto. La questione non riguarda soltanto la medicina. La stessa struttura compare ogni volta che leggiamo formule come «aumento del 40 per cento», «riduzione del 30 per cento», «probabilità triplicata»: senza il valore di partenza conosciamo il rapporto fra due quantità, ma non la loro dimensione.
Questo non rende il rischio relativo un dato ingannevole. In molti confronti è estremamente utile perché permette di osservare la proporzione del cambiamento e di confrontare popolazioni di dimensioni diverse. Il problema nasce quando uno dei due modi di rappresentare il fenomeno viene utilizzato come se contenesse da solo tutta l’informazione necessaria. Anche l’assoluto può ingannare se viene isolato: dire che un evento causa «soltanto dieci casi in più» può minimizzare una variazione enorme se la popolazione esposta è molto piccola. La comprensione nasce dal rapporto fra le misure, non dalla scelta di quella che produce l’impressione più rassicurante o più allarmante.
I denominatori diventano ancora più importanti quando interpretiamo un test. Immaginiamo, soltanto per costruire un esempio, una condizione presente nell’1 per cento di una popolazione di diecimila persone. Cento persone hanno quindi realmente la condizione e 9.900 non l’hanno. Supponiamo che un test identifichi correttamente il 90 per cento delle persone che la possiedono e produca un risultato positivo nel 5 per cento di quelle che non la possiedono. Avremo circa 90 positivi reali, ma anche 495 positivi fra le persone senza la condizione. Chi riceve un risultato positivo non appartiene quindi a un gruppo composto quasi interamente da persone malate: in questo esempio, soltanto circa 90 dei 585 risultati positivi corrispondono alla condizione reale.
Non c’è alcun paradosso. Il test può essere abbastanza preciso e produrre comunque molti più falsi positivi che veri positivi perché il gruppo delle persone senza la condizione è enormemente più grande. Il dato che rende comprensibile il risultato è la frequenza di base, cioè quanto il fenomeno sia comune nella popolazione prima ancora di utilizzare il test. Se perdiamo quel denominatore, possiamo confondere facilmente la probabilità che il test sia positivo in presenza della condizione con la probabilità di avere la condizione dopo avere ricevuto un test positivo.
Gerd Gigerenzer e Adrian Edwards hanno mostrato quanto la forma della rappresentazione possa incidere sulla comprensione di problemi di questo tipo. In un esempio discusso sul BMJ, medici con molti anni di esperienza hanno fornito risposte estremamente differenti davanti a probabilità espresse attraverso prevalenza, sensibilità e tasso di falsi positivi; la stessa struttura risulta molto più comprensibile quando viene tradotta in frequenze naturali, cioè quando si ragiona direttamente in termini di persone o casi all’interno di una popolazione concreta. Il problema, quindi, non è soltanto quanta matematica sappiamo: conta anche il modo in cui l’informazione matematica viene organizzata davanti a noi.
Una formula come «il 90 per cento dei malati risulta positivo» è corretta, ma costringe il lettore a combinarla mentalmente con la frequenza della malattia e con la percentuale di falsi positivi. Dire invece «su diecimila persone, cento hanno la condizione; novanta di queste risultano positive e, fra le altre 9.900, circa 495 risultano positive per errore» rende visibile la struttura del problema. Non abbiamo aggiunto informazioni: abbiamo cambiato il modo in cui sono distribuite.
Anche le rappresentazioni grafiche possono aiutare, ma non sono automaticamente neutrali. Una scala verticale che comincia da 95 invece che da zero può far apparire enorme una variazione da 97 a 99; la stessa serie mostrata su una scala da zero a cento appare quasi piatta. Nessuno dei due grafici modifica i dati. Il primo rende molto visibile una piccola differenza, il secondo la inserisce nell’intera scala disponibile. La scelta più appropriata dipende da ciò che stiamo cercando di osservare: se vogliamo studiare variazioni minime, restringere la scala può essere necessario; se utilizziamo lo stesso restringimento per suggerire una trasformazione gigantesca a un pubblico che non vede immediatamente l’asse, l’effetto cambia.
Lo stesso vale per l’intervallo temporale. Un andamento osservato dal lunedì al venerdì può sembrare in crescita costante; allargando il grafico agli ultimi cinque anni potremmo scoprire che quei giorni appartengono a una normale oscillazione. Può accadere anche il contrario: un periodo molto lungo può appiattire un cambiamento recente importante. Non esiste quindi un intervallo temporale corretto in assoluto; esiste un intervallo adeguato alla domanda che stiamo facendo. L’errore compare quando il periodo viene scelto per produrre un’impressione e poi presentato come se coincidesse naturalmente con il fenomeno.
Anche la popolazione di riferimento può essere ritagliata. Un dato nazionale può nascondere differenze enormi fra territori; un dato locale può essere generalizzato impropriamente all’intero paese. La media può descrivere bene un insieme e non descrivere quasi nessuno dei suoi componenti. Se dieci persone possiedono complessivamente cento unità di una risorsa, la media è dieci; potremmo però avere dieci persone con dieci unità ciascuna oppure una persona con novantuno e le altre nove con una sola. La media non mente in nessuno dei due casi, ma racconta pochissimo sulla distribuzione.
Anche la scelta fra media, mediana e altri indicatori può quindi modificare ciò che diventa visibile. In una popolazione con pochi valori estremamente elevati, la media può essere molto superiore alla condizione della maggioranza; la mediana, invece, individua il punto che divide la popolazione in due metà e può restituire un’immagine differente. Nessuna delle due misure possiede il monopolio della verità. Rispondono a domande diverse. Presentarne una senza chiarire quale proprietà stiamo cercando di misurare significa lasciare al lettore il compito di attribuirle un significato che il numero, da solo, non contiene.
Perfino i confronti possono costruire il proprio denominatore. «Il valore più alto degli ultimi cinque anni» sembra indicare un’eccezionalità evidente; potremmo scoprire che sei anni prima era molto più alto. «Il migliore risultato fra i paesi europei considerati» cambia significato se i paesi considerati sono tre oppure trenta. «Nove esperti su dieci concordano» richiede almeno di sapere come siano stati scelti quegli esperti, quale domanda abbiano ricevuto e che cosa significasse esattamente concordare. La precisione della frazione non sostituisce la conoscenza dell’insieme dal quale la frazione è stata estratta.
Possiamo usare l’espressione ritaglio statistico, come categoria editoriale, per indicare una rappresentazione costruita scegliendo popolazione, scala, periodo, misura, termine di confronto o forma grafica in modo da rendere alcuni aspetti del fenomeno molto più visibili di altri. A volte la scelta è metodologicamente necessaria; altre volte è discutibile; altre ancora può essere deliberatamente orientata. Il numero non permette da solo di distinguere fra queste possibilità e la statistica non elimina l’inquadratura: può renderne misurabili alcuni elementi.
Un altro salto richiede attenzione quando il numero descrive un’associazione. Se le persone che fanno X presentano più spesso Y, sappiamo che i due fenomeni compaiono insieme con una certa regolarità; non sappiamo ancora, soltanto da questo, che X produca Y. Potrebbe essere Y a rendere più probabile X, una terza condizione potrebbe influenzare entrambi oppure il rapporto potrebbe dipendere dal modo in cui sono stati selezionati i casi osservati. La correlazione non è quindi un errore e può essere informativamente preziosa, ma descrivere una relazione non equivale ancora a spiegarne la causa.
Nel passaggio dalla ricerca al titolo questa differenza può scomparire rapidamente. «Le persone che fanno X presentano più Y» può diventare «X aumenta Y»; espressioni come «porta a», «favorisce», «influenza» o «ha un impatto su» possono introdurre una direzione causale che lo studio originario non aveva necessariamente stabilito. La cautela opposta sarebbe altrettanto sbagliata: dire che correlazione non significa causalità non permette di liquidare ogni studio osservazionale. Significa, più modestamente, che davanti a un’affermazione causale dobbiamo chiederci quale confronto la sostenga, quali spiegazioni alternative siano state considerate e se risultati ottenuti con metodi diversi convergano nella stessa direzione.
La domanda utile per un lettore non è quindi imparare a ricostruire un modello causale, ma riconoscere il momento in cui un racconto compie un passo ulteriore rispetto ai dati. Un’associazione può giustificare attenzione e ulteriori verifiche; trasformarla immediatamente in una causa significa aggiungere informazione che il semplice rapporto statistico non contiene.
Per questo i numeri meritano un controllo diverso da quello che riserviamo a un’affermazione puramente verbale. Davanti a «sono aumentati i casi» possiamo chiedere se l’affermazione sia vera; davanti a «sono aumentati del 60 per cento» la presenza di una percentuale non dovrebbe chiudere la verifica, ma aprirla. Sessanta per cento rispetto a quale valore iniziale? In quale periodo? Su quale popolazione? Il numero assoluto è cresciuto nella stessa misura? È cambiato il modo in cui i casi vengono rilevati? Stiamo osservando una variazione eccezionale oppure una fluttuazione abituale? Queste domande non servono a screditare il dato; servono esattamente al contrario, a restituirgli il significato che il numero isolato non possiede.
Un numero può essere perfettamente vero e diventare informativamente povero quando perde il proprio denominatore, la propria scala o il proprio contesto. Può essere accurato fino all’ultima cifra decimale e raccontare comunque una porzione minuscola del fenomeno. La precisione matematica non garantisce la precisione della rappresentazione: anche i numeri possiedono un fuori campo.